Który to Mint? Jeśli używa systemd, to spróbuj gdy pokaże Ci się GRUB przejść do jego edycji, dodać:
systemd.unit=multi-user.target
lub
systemd.unit=rescue.target
W pierwszym przypadku uruchomi Ci się sesja użytkownika, ale bez Xów, w drugim "goły" root z jedynie podstawowymi usługami. Sądzę, że pierwsze będzie dla Ciebie wygodniejsze na tym etapie.
Alternatywnie możesz również spróbować nacisnąć gdy pojawi się ten ekran ze zdjęcia klawisze: ctrl+alt+Fx, gdzie x musisz sobie znaleźć. Nie wiem na którym TTY działają Xy w Mincie, zatem któryś inny będzie włączony. Zwykle jest to albo TTY1 albo TTY2 albo TTY7, zatem "bezpieczne" są F3-6 i F8.
Zaloguj się do systemu w TTY (innymi słowy do konsoli, bez DE).
W tym momencie możesz dokonać podstawowej diagnostyki systemu i jego naprawy.
Przede wszystkim - połącz się z netem. W pierwszym przypadku po kablu powinno połączyć się OTB, w przypadku wifi najlepiej skorzystaj z nmtui i skonfiguruj połączenie.
Dokonaj pełnej aktualizacji systemu z naprawą paczek itd. Ktoś lepiej obeznany w arkanach APTa poda Ci aktualne polecenia.
Zrestartuj system, bo może się naprawiło.
Jeśli nie - ponów operację i po zalogowaniu sprawdź co go boli wywołując:
journalctl --since "10 min ago"
(pokaże to dziennik systemowy powstały w przeciągu 10 minut od wydania powyższej komendy, jeśli potrzebujesz innego czasu zmień to 10 na cokolwiek innego, albo wpisz:
journalctl -b
(powinno pokazać dziennik aktualny dziennik od bieżącego bootowania się).
Przeszukaj dziennik pod kątem błędów. Winny one się wyróżniać kolorystycznie.
Możesz spróbować znaleźć same błędy, alerty itp. filtrując dziennik:
journalctl -b -p err...alert
Prawdopodobnie jednak system ma jakiś problem z grafiką. Wydaje się, że Twój komputer to układ z hybrydową grafiką. Domyślnie winien pracować na GPU Intela. GPU Nvidii jest obecnie (a w zasadzie próbuje być) obsługiwane przez sterownik nouveau. I teraz pytanie: czy kiedykolwiek instalowałeś na tym komputerze sterowniki własnościowe (NVidia/nvidia)? Jak na razie wyłącznie przypuszczam, że właśnie tu coś nawaliło.
Jeśli masz problem ze zrozumieniem logów i naprawą, wrzuć - całkiem możliwe, że się coś wymyśli. Jeśli dziennik będzie długi przekieruj go na jakiś plik i ów plik wrzuć na jakiś serwis typu pastebin, a tu daj tylko linka. I nie - nie chcemy zdjęcia

'
Inna sprawa, że - niestety wzrok już nie ten - wydaje się, że system startuje normalnie, a jedynie nie podnosi DM. Jeśli tak jest w istocie (po starcie jest prompt, a ty wpisujesz tam startx, który coś się kiełbasi), to spróbuj wywołać ekran logowania:
sudo systemctl start lightdm
(jeśli w Mint/u Ciebie nie jest to lightdm, tylko inny DM, to trzeba wywołać jego usługę). Jeśli system odżyje i pojawi Ci się ekran logowania, to tę usługę trzeba będzie dodać do uruchamianych przy starcie (enable).