Jeśli musi być FF, a nie musi być jego aktualna wersja, to może rozwiązaniem byłaby odchudzona jego wersja pn. Light: https://en.wikipedia.org/wiki/Light_(web_browser) i https://sourceforge.net/projects/lightfirefox/. Mógłbyś wyeksportować z FF, co potrzebujesz i przejąć to w Light. Tyle, że paczki są w formacie rpm oraz Light w swej najnowszej wersji odpowiada FF w wersji 49. Pewnie są inne jeszcze przeglądarki (jak np. Slimbrowser), które zapewniają kompatybilność z FF, a jednocześnie są w stosunku do oryginału odchudzone.
Problem jednak leży jeszcze gdzieś indziej. Przynajmniej wg. mnie. To nie sama przeglądarka jest problemem, a wyświetlana treść. Uruchom sobie dowolną przeglądarkę bez żadnych dodatków blokujących reklamy, z uruchamianiem się całej multimedialnej treści stron automatycznie, wejdź na jakąś stronę np. wp.pl i sprawdź ile bierze zasobów (zwłaszcza RAM, ale również - w przypadku tak słabego procesora - w jakim stopniu go obciąża). Potem wyłącz, włącz wszelkie możliwe blokady treści i również sprawdź. Widzisz różnicę? Dodatkowo są strony - wg mnie - zbudowane w sposób wadliwy, które powodują, że zajętość zasobów przez przeglądarkę zwiększa się wraz z oglądaniem poszczególnych jej podstron. Także niemal każda współczesna przeglądarka - ponoć ze względów bezpieczeństwa - działa tak, że każda nowa strona (tj. druga i następna) powoduje uruchomienie się nowej instancji jej silnika. Zatem cały jej interfejs masz wczytany raz, ale każda otwarta strona, to jakby kolejna przeglądarka, którą otwierasz. Zasobożerność bywa olbrzymia. Stąd też na tego typu komputerach trzeba nieco zmienić sposób postępowania i zamiast mieć otwartych kilkanaście stron, otwierać wyłącznie te, które są wyłącznie potrzebne. Zamknąć jeśli przestaje się korzystać.
Wygląd. Sprawa wyglądu to jest kwestia indywidualna, albowiem jednemu podobać się będzie coś, na co kto inny w ogóle nie spojrzy, jednakże znakomita większość środowisk oferuje spore możliwości konfiguracji. Przynajmniej jeśli chodzi o "ogólny" wystrój. Część wystrojów jest zwykle w dystrybucji, część jest na stronach danego środowiska; przynajmniej w formie linków.
Nieco bardzo mało zasobożernych dystrybucji:
http://puppylinux.com/
https://www.bunsenlabs.org/
http://www.damnsmalllinux.org/
http://www.tinycorelinux.net/
http://porteus.org/
https://www.slax.org/
https://www.dracolinux.org/ - to jest samo środowisko, a binarki są wyłącznie (przynajmniej te mi znane) na Fedora/CentOS/RHEL: https://software.opensuse.org//download.html?project=home%3Arodlie%3Adraco-master&package=draco - musisz zatem zainstalować sobie jakąś np. Fedorę, dodać repozytoria i zainstalować z nich Draco. To pełnoprawne środowisko będące forkiem Lumina DE. Żre mało zasobów, konfigurowalne...
I w każdym przypadku dobór składników (aplikacji), to już indywidualna sprawa, ale jeszcze jeden TIP. Jeśli zdecydujesz się na środowisko oparte o określony framework (np. Gtk3, czy Qt5) to staraj się dobierać aplikacje również oparte o ten sam framework. W ten sposób, z uwagi na możliwość "dzielenia się" już podniesionymi do pamięci bibliotekami, następny program, który z nich będzie korzystać, nie będzie musiał uruchomić bibliotek wyłącznie dla swojej obsługi i w ten sposób lekko jesteś w stanie odciążyć zasoby komputera. Można się również pobawić w znalezienie kernela, który jest w lepszym stopniu dostosowany do EeePC (sprzed lat wiem, że takie były, może nadal są), oraz ewentualny tuning ustawień (ale to już melodia przyszłości).
